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【数学】小学数学教育问答2016年第3期•总字第15期•2016年5月

2016年第3期·总字第15期·20165月)

西南师大出版社·基础教育分社(重庆·北碚)

西南师大版义务教育小学数学教科书编写组



问题与回答

1)一年级上册第48页,练习八第8题,车上标有“准载客10人”,是否包括司机?


回答:根据上图示意,车外有8个小朋友,都要乘这辆车。注意到此车“准载客10人”,司机不是“客人”,不包括司机。除载车外这8个小朋友外,还可以载2个客人,即还空2个座位。车上的“准载”对解决这个问题来说,应该是明确的。但这是否结合生活实际,就另当别论了。


2)为什么不在四年级下册,第四单元“三角形的第一小节“认识三角形”中,介绍“三角形的稳定性”?



回答:《义务教育数学课程标准(2011年版)》第32页,在第三学段“图形与几何”部分,要求“了解三角形的稳定性”。也就是说,在以后要学习这个内容。因此,虽有不少教师提出这个疑问。但新版教科书是根据《标准》编写的,在第二学段四年级下册的“认识三角形”中,没有“稳定性”的介绍,也不建议教师自行处理。

3)什么是“面积”?总感觉三年级下册第二单元“长方形和正方形的面积”中,所说的面积(第25页例2),没有说清楚。

回答:不同版本的小学数学教科书,都是通过对“长方形和正方形面积”的研究,来表述图形的面积,是一个“表示物体表面或平面图形大小”的数。教科书上,通过例1(感受“面”)、例2(比大小),用“物体表面或平面图形的大小叫做他们的面积”,让学生来体会“面积”的含义。


如果你有兴趣研究把“面积作为一个数学概念”,怎样给出面积定义这个问题。可以介绍华东师范大学张奠宙教授等编写的《小学数学研究》(高等教育出版社·2009年版),这本书在148页,对“面积的含义”,有如下一段表述:“物体的表面是一个二维的图形,………对一个二维图形的表面进行度量后,用一个‘数’标志他们的大小,称这个数为该图形的面积。”

在该书157页,又说:“提出面积公理的基本想法是:既然图形是一个集合,而相应的图形面积是一个数,所以,面积是定义在‘集合族’上的一个函数。”

由此,就可以给出一个完全形式化的,且符合逻辑的面积定义。“设M为集合,X={G/GM的某些子集}VX上的非负实值函数,

若满足条件:

①(正则性)存在度量单位G0·VG0=1

②(有限可加性)G1G2XG1G2无共同点,G1G2X,则∨(G1G2=∨(G1+∨(G2);

③(运动不变性)对任意两个G1G2X,若G1G2,则∨(G1=∨(G2)。

则称∨为X上的度量函数。”


4)《数学文化读本》三年级下册中第14个故事“玩玩一笔画”的解读。

①这个故事来源于“小学数学文化丛书”中的《游戏与数学》。

②故事中提到“哥尼斯堡问题”的来龙去脉。

位于北欧的哥尼斯堡市,现在俄罗斯境内,有一道以它的城名命名的中世纪“数学名题”,称为“哥尼斯堡七桥问题”。这座名城曾经诞生和培育过许多名人。著名的哲学家,古典唯心主义的创始人康德,终生没有离开过这座城市。还有卄世纪最伟大的数学家之一,希尔伯特就出身在这座城市。

哥尼斯堡城位于布勒格尔河两条支流的交汇处,中间形成一座小岛。全城被划分为四个区域:岛区(A),东区(B),南区(c)和北区(D)。四个区域之间,共有七座桥联系着(如下图所示)。



问题:一个人能否不重复、不遗漏地一次走完七座桥?如果能,应当怎么走?

早在十八世纪以前,当地居民便热衷于以上这个有趣问题,并吸引了不少数学爱好者和数学家的注意,其中也包括年青的欧拉。1736年,29岁的欧拉向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》论文,确立了著名的“一笔画原理”,从而成功地解决了“哥尼斯堡七桥问题”。同时,提出了称为“位置几何学”的问题。虽然“位置几何学”由德国数学家莱布尼兹创立,但欧拉的研究对这门新兴学科却起着重要作用。这个几何学分支,讨论只与位置有关的关系,研究位置的性质,不去考虑长短大小,也不牵涉到量的计算。这就成为后来称为“图论”的数分支研究内容。

③关于数学家欧拉的故事。

·在西师版“小学数学文化丛书”《数学家与数学》中,第2个故事“盲人数学家——欧拉”,介绍了关于瑞士数学家、自然科学家欧拉(17071783)的故事。

·欧拉出生于瑞士,后来常年在俄国彼得堡科学院工作生活。儿童时代就可以记忆成列的数据和背诵长诗与名人演讲,还能进行复杂的心算。

·欧拉13岁时,被巴塞尔大学录取,遇到了他父亲大学时代的好友约翰·伯努力,这位著名的教授对他的影响和对他后来取得的成就,起到了关键作用。

·欧拉31岁时,右眼失去视力。到1770年完全失明。但他仍然工作和写作。他吸收别人念给他的内容,在头脑中构思各种数学概念,他通过心算完成必要的运算,他求解一个个问题,证明一个个定理,然后口述找人进行记录。

·1736年,欧拉解决了困扰数学家们多年的哥尼斯堡七桥问题。在解决这个问题的同时,确立了新的数学分支“图论”,直到今天,人们仍然在继续进行图论方面的研究。

·欧拉活跃的思维直到他生命最后一天。1783918日,在彼得堡家中同孙子孙女玩耍,讨论热气球中的数学,并进行天王星轨道的计算后,突发脑溢血辞世。

5)一笔画问题的拓展。

在“玩玩一笔画”的故事里,明确了“图形只有在奇点个数为02时才能一笔画”。“七桥问题”中有四个奇点,是不能一笔画的。而且还可告诉学生,奇点个数为0时,每一个点都可作起点;奇点个数为2时,只能从其中一个奇点为起点,另一个奇点为一笔画的终点。

在欧拉的研究中,还有“含有2nn>0)个奇点的图里,需要n笔画才能完成”的结论。学生还能在此基础上,设计出一些需要“多笔”才能画出的图来,作为这个有趣“一笔画游戏”的延续。

还可由一个同学画图,另一个同学先判断能否一笔画出来。如能,怎样画出来;如不能,说明理由。答对的记分,答错不记分,然后交换“出题”和“答题”的角色。教师可以根据实际情况设计这种有竞争性的游戏,提高学生的兴趣。