【数学】小学数学教育问答2016年第3期•总字第15期•2016年5月

（2016年第3期·总字第15期·2016年5月）

西南师大出版社·基础教育分社（重庆·北碚）

西南师大版义务教育小学数学教科书编写组

问题与回答

（1）一年级上册第48页，练习八第8题，车上标有“准载客10人”，是否包括司机？

回答：根据上图示意，车外有8个小朋友，都要乘这辆车。注意到此车“准载客10人”，司机不是“客人”，不包括司机。除载车外这8个小朋友外，还可以载2个客人，即还空2个座位。车上的“准载”对解决这个问题来说，应该是明确的。但这是否结合生活实际，就另当别论了。

（2）为什么不在四年级下册，第四单元“三角形”的第一小节“认识三角形”中，介绍“三角形的稳定性”？

回答：《义务教育数学课程标准（2011年版）》第32页，在第三学段“图形与几何”部分，要求“了解三角形的稳定性”。也就是说，在以后要学习这个内容。因此，虽有不少教师提出这个疑问。但新版教科书是根据《标准》编写的，在第二学段四年级下册的“认识三角形”中，没有“稳定性”的介绍，也不建议教师自行处理。

（3）什么是“面积”？总感觉三年级下册第二单元“长方形和正方形的面积”中，所说的面积（第25页例2），没有说清楚。

回答：不同版本的小学数学教科书，都是通过对“长方形和正方形面积”的研究，来表述图形的面积，是一个“表示物体表面或平面图形大小”的数。教科书上，通过例1（感受“面”）、例2（比大小），用“物体表面或平面图形的大小叫做他们的面积”，让学生来体会“面积”的含义。

如果你有兴趣研究把“面积作为一个数学概念”，怎样给出面积定义这个问题。可以介绍华东师范大学张奠宙教授等编写的《小学数学研究》（高等教育出版社·2009年版），这本书在148页，对“面积的含义”，有如下一段表述：“物体的表面是一个二维的图形，………对一个二维图形的表面进行度量后，用一个‘数’标志他们的大小，称这个数为该图形的面积。”

在该书157页，又说：“提出面积公理的基本想法是：既然图形是一个集合，而相应的图形面积是一个数，所以，面积是定义在‘集合族’上的一个函数。”

由此，就可以给出一个完全形式化的，且符合逻辑的面积定义。“设M为集合，X={G/G为M的某些子集}，V为X上的非负实值函数，

若满足条件：

①（正则性）存在度量单位G₀·V（G₀）=1；

②（有限可加性）G₁、G₂∈X，G₁与G₂无共同点，G₁∪G₂∈X，则∨（G₁∪G₂）=∨（G₁）+∨（G₂）；

③（运动不变性）对任意两个G₁，G₂∈X，若G₁≌G₂，则∨（G₁）=∨（G₂）。

则称∨为X上的度量函数。”

（4）《数学文化读本》三年级下册中第14个故事“玩玩一笔画”的解读。

①这个故事来源于“小学数学文化丛书”中的《游戏与数学》。

②故事中提到“哥尼斯堡问题”的来龙去脉。

位于北欧的哥尼斯堡市，现在俄罗斯境内，有一道以它的城名命名的中世纪“数学名题”，称为“哥尼斯堡七桥问题”。这座名城曾经诞生和培育过许多名人。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康德，终生没有离开过这座城市。还有卄世纪最伟大的数学家之一，希尔伯特就出身在这座城市。

哥尼斯堡城位于布勒格尔河两条支流的交汇处，中间形成一座小岛。全城被划分为四个区域：岛区（A），东区（B），南区（c）和北区（D）。四个区域之间，共有七座桥联系着（如下图所示）。

问题：一个人能否不重复、不遗漏地一次走完七座桥？如果能，应当怎么走？

早在十八世纪以前，当地居民便热衷于以上这个有趣问题，并吸引了不少数学爱好者和数学家的注意，其中也包括年青的欧拉。1736年，29岁的欧拉向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》论文，确立了著名的“一笔画原理”，从而成功地解决了“哥尼斯堡七桥问题”。同时，提出了称为“位置几何学”的问题。虽然“位置几何学”由德国数学家莱布尼兹创立，但欧拉的研究对这门新兴学科却起着重要作用。这个几何学分支，讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质，不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算。这就成为后来称为“图论”的数分支研究内容。

③关于数学家欧拉的故事。

·在西师版“小学数学文化丛书”《数学家与数学》中，第2个故事“盲人数学家——欧拉”，介绍了关于瑞士数学家、自然科学家欧拉（1707—1783）的故事。

·欧拉出生于瑞士，后来常年在俄国彼得堡科学院工作生活。儿童时代就可以记忆成列的数据和背诵长诗与名人演讲，还能进行复杂的心算。

·欧拉13岁时，被巴塞尔大学录取，遇到了他父亲大学时代的好友约翰·伯努力，这位著名的教授对他的影响和对他后来取得的成就，起到了关键作用。

·欧拉31岁时，右眼失去视力。到1770年完全失明。但他仍然工作和写作。他吸收别人念给他的内容，在头脑中构思各种数学概念，他通过心算完成必要的运算，他求解一个个问题，证明一个个定理，然后口述找人进行记录。

·1736年，欧拉解决了困扰数学家们多年的哥尼斯堡七桥问题。在解决这个问题的同时，确立了新的数学分支“图论”，直到今天，人们仍然在继续进行图论方面的研究。

·欧拉活跃的思维直到他生命最后一天。1783年9月18日，在彼得堡家中同孙子孙女玩耍，讨论热气球中的数学，并进行天王星轨道的计算后，突发脑溢血辞世。

（5）一笔画问题的拓展。

在“玩玩一笔画”的故事里，明确了“图形只有在奇点个数为0或2时才能一笔画”。“七桥问题”中有四个奇点，是不能一笔画的。而且还可告诉学生，奇点个数为0时，每一个点都可作起点；奇点个数为2时，只能从其中一个奇点为起点，另一个奇点为一笔画的终点。

在欧拉的研究中，还有“含有2n（n>0）个奇点的图里，需要n笔画才能完成”的结论。学生还能在此基础上，设计出一些需要“多笔”才能画出的图来，作为这个有趣“一笔画游戏”的延续。

还可由一个同学画图，另一个同学先判断能否一笔画出来。如能，怎样画出来；如不能，说明理由。答对的记分，答错不记分，然后交换“出题”和“答题”的角色。教师可以根据实际情况设计这种有竞争性的游戏，提高学生的兴趣。