《数的运算》教科书分析

数的运算是小学数学内容中十分重要的内容，它在第一、二学段占的分量和教学时间都较多，是学习其他知识的基础和解决问题的工具。本部分教科书对数的运算的整理和复习，包括对整数、小数、分数的四则运算的意义，运算法则，运算定律及应用这些知识解决问题等内容的整理和复习。同时，还要通过适当的练习提高学生的计算能力和解决问题的能力。教科书用下面学生讨论的情景图引入知识的整理。

下图是反映学生对整数、小数、分数四则计算进行回忆和整理的情景。教科书用问题“怎样进行整数、小数、分数四则计算？它们的计算方法有什么相同和不同的地方？”的形式为学生提出了梳理知识的线索，学生根据这条线索，通过自主回忆、合作交流的方式，对整数、小数、分数四则计算的知识进行自主梳理。本情景图中虽然只呈现了4个学生的对话，但这仅仅是一个线索，通过这个线索要对小学数学内容中整数、小数、分数四则计算的有关知识进行全面的整理与复习。由于课标提出要结合具体情景体会四则计算的意义，这就说明对四则计算的学习，重点不应放在对结论的机械记忆上。所以，从情景图上看，没有提到什么是加法？什么是减法？什么是乘法？什么是除法等问题，其意图是要让学生在具体情景中去体验四则计算的意义。当然，这里也不排除让学生结合具体情景对四则计算意义的理解和说明。教科书在编写时既重视学生对整数、小数、分数四则计算方法的梳理和复习，更注重计算方法的联系的整理和复习，这里的联系主要体现在三个方面：

一是整数、小数和分数加减法在计数方法上的联系，即计算整数和小数加、减法时，必须把它们的相同数位对齐（小数加、减法将小数点对齐也就是相同数位对齐），哪一位相加满十都要向前一位进一，哪一位不够减，都要向前一位退一作十再减；计算分数加、减法时，必须是同分母分数才能直接相加减。更进一步说，无论是整数、小数加、减法，还是分数加、减法，必须是相同的计数单位的数才能直接相加减。

二是整数、小数乘除法计算方法的联系，即：计算小数乘法要先转化成整数乘法计算，计算除数是小数的除法要转化成除数是整数的除法计算。三是分数乘、除法计算方法的联系，即：计算分数除法要将它转化成分数乘法来计算。对于算理的问题，教科书上没有明确提出，可将它包含在计算法则中一并复习，也就是说，在复习算法时，不但要让学生明确怎样算，还应明确为什么这样算，让学生明确各种算法的算理。教科书对四则混合运算的整理与复习的编排，一方面注重让学生用自己的语言对四则混合运算的运算顺序进行回忆（即：在没有括号的四则混合运算中，如果只有加减法或乘除法，按从左到右的顺序依次计算；如果既有加减法又有乘除法，应先算乘法或除法，再算加减法；在带有括号的四则混合运算中，应先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的），体会整数、小数、分数四则混合运算在运算顺序上的联系，使学生掌握概括化的运算顺序，便于学生在计算时广泛应用和迁移，提高计算的能力；另一方面，应注重让学生结合解决问题，通过实际计算加深学生对四则混合运算顺序的理解。第86页例1主要是对整数、小数、分数的加、减、乘、除四则计算进行复习。通过本例题的教学，让学生对整数、小数、分数四则计算的方法有更加牢固的掌握，发展学生的计算能力。本例题具有一定的综合性，具体体现在：一是教科书通过9道题目让学生把计算与思考算法相结合，在让学生经历计算过程、体验计算方法的同时，对四则计算的计算方法进行理性思考，有利于学生对四则计算形成更加清晰的认识。二是它综合了四则计算的主要内容，比如，例题涉及整数、小数、分数加、减、乘、除法计算，题中让学生根据实际情况自主选择计算方法，让学生把估算和笔算结合起来等，体现了对计算方法的综合应用，有利于促进学生计算能力的发展。本例题让学生选择合适的算法计算，这里的算法，一方面指整数、小数、分数四则计算的具体计算方法；另一方面指让学生根据计算内容的特点灵活选择口算、笔算或计算器计算等不同的计算方式。例如70×400，由于是整十数乘整百数，所以用口算比较简便，即是先用4×7＝28，再在28后面添3个0就是28000，而56576÷435由于数比较大，所以用计算器计算比较简单，但用计算器计算56576÷435也有具体的操作方法；再如82.8÷0．23可以用竖式计算，但用竖式计算时要注意根据商不变的性质将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法再计算。至于估算，教科书通过另一组整数的加法、乘法、除法的笔算和估算结合，一方面复习整数加、减、乘、除法的笔算方法；另一方面复习估算方法。第87页例2通过4道题目对整数、小数、分数四则混合运算进行复习，也包含简便运算的复习。通过复习，可以使学生对四则混合运算的运算顺序形成更加清晰的认识，对四则计算方法有更加牢固的掌握，使学生进一步明确如何面对具体的计算对象选择简便方法计算，提高学生的计算能力。值得提出的是，小学数学中的混合运算，可以是整数与小数的加减乘除混合运算，也可以是分数的四则混合运算，但题目的计算步数不能超过3步，一般不把小数与分数混合在一个算式中。从例题中的4道题目看，第1，2，3题按常规的运算顺序计算，第4题表面上看不能用简便方法计算，但仔细观察会发现，如果将54与45先相加得99，于是算式变成99＋99×99，这时就可以根据乘法分配律用简便方法计算，即99×（99＋1）。但要看出这些步骤，学生既要观察当前的算式，又要想象如果这样计算，下一步会出现怎样的结果，所以，本题目不但复习了应用运算定律进行简便计算，还具有挑战性，也具有思考性，学生通过本题目的复习，在发展他们的计算能力的同时，也有利于学生思维能力的培养。第87页课堂活动安排了2道题，第1题是与数的运算相联系的一个有趣的内容（如下图），它的教育价值表现在：一是学生在用四则计算解决问题中加深他们对四则计算方法的巩固；二是学生根据表格中数的排列规律发现所框的5个数的排列规律，并找到求和的方法，有利于学生探索发现能力的培养；三是由于活动本身的探索性、趣味性和可操作性，有利于培养学生的学习兴趣。本题目所蕴含的规律是：所框的5个数，中间的数是这5个数的平均数，因此，这5个数的和就是所框的中间的那个数乘5的积。第2题是对1和0在四则计算中的特性进行复习，通过此问题的复习，可以加深学生对1和0意义的理解，提高学生的计算能力。练习十八安排了7道习题和1道思考题。整个练习围绕数的运算安排，一方面，体现了精选习题的编写原则，使每道题都具有一定的代表性，又不机械重复练习；另一方面，注重题目的广泛代表性，体现对基本口算、四则运算方法、混合运算顺序的巩固和计算能力的发展。具体讲，第1题是基本口算的练习。第2题的第（1）题具有一定的综合性，通过此题目的练习，加深学生对积的变化规律、商的变化规律和乘除法关系等知识的巩固。第（2）题对一个数与大于1或小于1的数相乘或相除结果变化规律的巩固练习，学生既可以通过实际的计算再进行比较，也可以根据规律直接进行判断，即，一个数乘一个比1小或大的数，积就小于或大于这个数；一个数除以一个比1小或大的数，积就大于或小于这个数。第3~5题是对整数、小数、分数四则运算、估算及混合运算的练习，也包括应用运算定律进行简便计算。第6题是用计算器计算探索规律，也是对用计算器计算进行练习。第7题从形式上看是解决问题，但安排这组题目的主要目的还是让学生根据具体情境正确、合理选择计算方法，感悟四则运算的意义。思考题是结合数的运算进行找规律的练习，题目分成上下两部分，上半部分算式的规律是：得数都是由数字1组成，1的个数就是左边算式中第二个加数。上面部分的得数是：1×9+2=11, 12×9+3=111, 123×9+4=1111,1234×9+5=11111……123456789×9+10=1111111111。下半部分算式的规律是：第一个加数中的第二个因数都是9，所以都可以把9拆成10－1，计算时根据乘法分配律将乘法算式展开，并将第二个加数加到1，12，123与10相乘的积上，再分别减去1，12，123，结果就是11，111，1111。题中要求学生根据规律写出几个这样的算式，既是对规律的理解，也是对规律的应用。还可以写出的算式有：1234×9＋5＝1234×（10－1）＋5＝12345－1234＝11111，12345×9＋6＝12345×（10－1）＋6＝123456－12345＝111111……例3、例4和例5是综合运用整数、小数和分数的知识解决数学问题的题目。教科书只提供了解决问题复习的线索，例3代表应用整数四则运算的知识解决问题，例4代表用分数的知识解决问题，例5代表解决计算利息、纳税的问题。但这并不包含小学数学中解决问题的所有内容，有的内容还通过课堂活动和练习加以复习。具体讲，例3根据整数减法、乘法、除法的意义对题中的数量关系进行综合分析，并运用整数减法和乘除法的计算方法加以解决。通过本内容的复习，能加深学生对整数四则计算的意义和计算方法等知识的理解，使学生感受到数和数的运算对解决实际问题的作用，培养学生综合运用数和数的运算的知识解决问题的能力。从解决问题的方法和策略上看，本题目体现了解决问题策略的多样化，既可以用算术方法解决，也可以用方程解决；从学习方式上看，教科书体现了独立思考与合作交流的学习方式。 例4要根据整数、分数四则计算的意义对题中的数量关系进行综合分析，并运用整数、分数四则计算的方法加以解决。通过本内容的复习，能加深学生对整数、分数四则计算的意义和计算方法等知识的理解，使学生进一步感受到整数、分数及其四则运算对解决实际问题的作用，培养学生综合运用知识解决问题的能力。从解决问题的方法和策略上看，本题目也体现了解决问题策略的多样化，既可以先算出已行的路程，再算还剩下的路程；也可以先算已行的分率，再算剩下的分率，最后算剩下的路程。例5是解决计算利息、纳税的问题，其中涉及整数、小数四则计算和百分数化小数等知识。从题材上看，该问题不但现实性很强，有利于让学生感受数学的应用价值，而且也有一定的思想性，可以培养和激发学生的科技创新意识和纳税意识。从内容的呈现形式看，该问题用文字与表格结合呈现信息，特别呈现了两种存期的不同利率，有利于学生根据解决问题的需要选择有用信息，培养学生有效选择信息、解决问题的能力。课堂活动安排了2个题目，第1题是对行程问题的复习。虽然在前面没有安排例题对行程问题进行复习，但由于考虑到行程问题也是小学数学中比较重要的内容，所以，这里通过课堂活动的形式对该类问题进行复习。

第1题有两个小题，第（1）小题要解决客车从北京到达上海要多少时间的问题，主要用到路程、速度及时间的关系等知识去解决，即首先用360除以4时得到客车的速度，再用京沪高速的总长度除以速度就得到客车到达上海需要的时间。所以，解决该问题，既有利于培养学生解决问题的能力，也加深学生对行程问题和四则运算有关知识的掌握。

第（2）小题解决两车相遇计算相遇时间的问题，该小题与第（1）小题有密切的联系，就是要应用第（1）小题计算出的客车的速度作为解决这一问题的条件，即用京沪高速公路的总长度除以速度和就得到相遇时间。所以，通过该问题的解决，能较全面的对行程问题进行了复习。第2题涉及折扣的问题，要综合应用百分数的有关知识解决问题。具体讲，先要根据每台DVD七折的售价是350元这个条件求出每台的原价，再根据利润占原价的10%计算售出1台DVD获得的利润，最后计算售出200台DVD的利润。所以，通过本题目的学习，可以加深学生对百分数有关知识的掌握，同时培养学生分析问题、解决问题的能力。练习十九安排了15道题，其中包括1道思考题，整个练习围绕应用数的运算的知识解决问题安排，该练习的题目具有两个特点：一是具有广泛的代表性，它体现了让学生运用整数、小数、分数四则计算的知识解决不同情景中的各种问题，全面体验、巩固解决问题的策略；二是具有较强的现实性，每道题目都是现实生活的提炼，都有它的生活背景，特别是第6，8，9，12题，其中的情景和数据都是真实的。所以，学生通过解决这些问题，不但可以培养学生的应用意识和解决问题的能力，也可以使他们了解其他一些知识，有利于学生综合素质的培养。具体讲，第1~6题是一般性的问题，按传统教学观点来看，是传统教科书中的一般应用题。其中，第1题用估算的方法就可以得出50元钱够买15kg大米。第2是顺向思考的问题，直接用3800元的2倍减去600元就得到笔记本电脑的价钱。

第3题属于传统分类中的归一问题，先要求出每天用多少千克面粉，再计算这批面粉（40×30=1200 kg）能用多少天。第4题可以把18×25的结果看成这项工程的总工作量，18个工人一天做的相当于工作效率，因此，用18与25的积除以25与10的差就得到要安排的工人数。即：18×25÷（25－10）=30人。第5题的第（1）题用估算解决，第（2）题用精确计算解决。第6题是一道典型的归一问题，先要计算列车行1 km的用电量，再计算行2300 km的用电量。第7，8，9，10题是用分数、百分数的知识解决的问题。其中，第7题涉及折扣，即把九五折看成95%计算。第8题是现实的题材，问题中涉及两个单位“1”的量，即岛屿海岸线与大陆海岸线比较，大陆海岸线长为单位“1”的量，大陆海岸线与陆地边界线长比，陆地边界线长为单位“1”的量，所以，用连除的方法可以解决问题。本题目提示学生说出与我国陆地边界接壤的国家，主要是结合内容培养学生的综合素质。第9题也是现实的题材，也涉及两个单位“1”的量，首先把内蒙古自治区的面积看做单位“1”的量，用乘法可以求出内蒙古草原的面积，再把全国草原面积看做单位“1”的量，用除法可以求出全国草原的面积。第10题计算本金，是计算利息方法的反过来思考，可以直接用利息计算公式用方程解决。第11，12题是行程问题，其中，第11题可以用反比例的知识解决。第12题第（1）题是相遇问题，题中的7：50这个条件是多余的；第（2）题8：00这个条件也是多余的，直接用他们分别行驶的路程除以速度得到时间进行比较就可以了。第13题是一道工程问题，3600 m是工作总量，500 m和400 m分别是工作效率，问题是求工作时间。此类问题与相遇问题的数量关系有密切的联系。第14题是一道现实性很强的问题，各地的计费标准可能不一样，但从本问题看，关键让学生认识到开始行驶3 km要5元钱，剩下4 km的路程按每千米1.8元计算。思考题具有较大的综合性，问题（1）不算复杂，只要把4个大门和2个小门每分通过的人数加起来就解决了问题；问题（2）在问题（1）的基础上乘70%得到紧急情况下每分通过的人数，再乘3分得到的总人数，与1500人比较得知在紧急情况下3分不能安全通过1500人。