北京市东城区史家胡同小学 陈凤伟

内容提要：

二十一世纪的学生,应该有一种“再学习”的能力，即面对新接触的现象、问题能动地分析、处理和解决。基于“问题解决”的学习方式，是学生在新的情景问题面前，主动、广泛、深入地激活自己的原有知识、技能、经验，并通过积极的、系统的思维整理、推理建构等活动，使新、旧经验的相互作用充分、有序地进行，主动地选择、调整解决问题的策略和方法，使问题目标得以实现的一种比较复杂的心理活动过程。小学数学教学中，基于数学问题解决的学习，是一种有效的培养学生数学问题意识、逻辑思维能力、解决问题能力、合作交流能力、评价反思能力、数学心理素质的学习活动，即培养学生的数学素质。

主题词：数学问题 问题解决  问题解决的学习  数学素质

一、研究理念：

充分发挥学生的主体作用，让学生学会学习，已成为当今教育教学改革关注的要点之一，也是“素质教育”的主要目标。二十一世纪的学生应该有一种“再学习”的能力，即面对新接触的现象、问题能动地分析、处理、解决。为此，今天的数学教学，将致力于：使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学理解和应用的信心；学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科中的问题，形成勇于探索、勇于创新的科学精神；获得适应未来社会和进一步发展所必需的数学事实、基本思想方法、必要的应用技能。最终的目的是为学生终生可持续发展奠定良好的基础。

二、概念界定：

（一）问题：需要学生依据、运用已有的知识、技能和经验，通过观察、思考、猜测、交流、推理等思维活动，经过克服障碍所实现的目标。

（二）数学问题：学生从数学的角度出发，不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。

（三）问题解决：学生在面对问题时，把已有的知识、技能和经验，经过思维加工、综合运用和转化，达到未知目标的过程和方法，以及所表现出来的情感、态度、价值观。

（四）数学问题解决的学习：是指学生在新的情景状态下，运用所掌握的数学知识，对面临的问题采用新的策略和方法，寻求答案的一种心理活动过程；是一种培养和发展学生知识技能、方法过程、情感和价值观的学习方式。

（五）数学素质：是以学生先天遗传因素为基体，在从事数学学习与应用活动的过程中，逐渐形成和发展起来的“数学化”思维意识，“数学化”地观察、处理和解决问题的能力。这是一种综合素质，包括数学问题意识、逻辑思维能力、解决问题能力、合作交流能力、评价反思能力、数学心理素质等方面。

三、研究的背景

“问题解决的学习”（Problem Solving）是美国80年代提出的，目前已在国际数学教育界受到普遍重视，成为国际通用的数学教学准则。近年来，美国、英国、日本等相继提出了“问题解决作为学校数学教育的中心” ，这一观点更是强调分析问题、解决问题的全过程。

“问题解决的学习”经过各国的多年研究，尚无统一的定义，但有几点趋势可作为继续探索的依据：

1、“数学问题解决的”的问题，一般来自于数学与现实生活的情景中，更多的来自于学生的生活经验，教学中要寻找好的生活问题。

2、通过“问题解决”的教学，从信息的收集整理，到明确目标、制订计划，再到尝试探究、发现解决，获得一般结论。学生在这样的过程中，建立新概念，掌握新技能，形成良好的数学素质。

3、让学生面对实际情景自己阅读信息，用数学的语言来解释复杂的现实情景，用数学的眼光来寻找生活中的数学问题，用数学的思维来制定解决问题的策略，并用数学的逻辑推理把求得的结果放回到实际情景中去检验。以此来实现培养学生数学素质的目的。

我国数学教育多年来一直致力于素质教育的深入推行，在基础知识教学、基本技能训练、数学情感的培养等方面有了长足的进展。但是，涉及到解决实际情景的问题，学生的动手操作能力、理解和解决问题的能力就显得不尽人意，显示出数学教学中存在的问题——学生的问题解决能力如何培养？基本的数学素质如何提高？因此，有必要探讨“通过问题解决的学习培养学生数学素质”的问题。

四、研究的意义

1、创新程度

当今社会，我们面对的是一个高速发展，变化多端的社会，每个人在其一生中都会遭遇到各式各样的问题。所以完全有理由把解决问题能力视为人生活中一个重要的、不可或缺的组成部分。根据学生身心发展阶段的规律，采取问题解决的学习，有助于增进学生数学思维能力，使学生在学会思考的同时，具有独立的、创造性解决问题的能力，成为有效的、成功的问题解决者。

2、实践意义

问题解决的学习，必将改变现有数学教学中过于强调接受、死记硬背、机械训练的现状。倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力。充实小学数学关于问题解决的教学内容、教学方法、教学策略。

3、理论意义

有助于教师全面了解学生的学习历程，关注学生解决问题的过程和策略，从而优化自己的教学行为。促进学生解决问题能力的发展，以适应社会对人才多样化的需求。促进小学阶段的数学教学改革和教学管理的改革。

五、创设问题解决的数学问题

学生每天都要面临许多问题，究竟什么样的问题才是数学问题解决学习中的问题呢？这样的数学问题有两个显著的特点：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，必须经过深入的研究与思考才能得出其结果；二是可接受性，即能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识技能来解决。因此教师要善于钻研教材，把握教材的脉络；研究学生的认知特点，依据学生的发展规律来创设“问题解决学习”中的数学问题。

例如：在学生认知了长方体和正方体特征及基本的求积计算后，为了培养学生的空间观念，设计了《立体图形的体与面》一课。在课上，由一个近似于正方体的沙包引出要解决的数学问题：怎样得到这个沙包的平面展开图？它的平面展开图有几种？要做成一个对面颜色相同的“三色包”，需要什么样的材料？这些材料可以怎样连接呢？这样的问题情景，取自学生的课余生活，但作为问题出现，对于学生来说却是“新的”。他们运用已有的立体图形的知识技能，积极地投入到解决问题的探索之中。

概括起来，问题解决学习中的数学问题，应该具有现实性和趣味性、挑战性和思考性、目的性和针对性。

1、现实性和趣味性：数学问题应该从学生的实际生活中选取，把具体情景数学化，进而再把数学知识生活化。只有这样，才能拉近学生与问题的距离，真正引起学生探求的愿望。如三年级《基本数量关系》的教学，结合学生的实际生活，设计的问题是：春天到了，组织同学们去春游，应该准备哪些物品呢？结合小组的人数和每个成员的实际情况，确定购买物品的数量。要按照大家的方案去购买，需要多少钱呢？ 这是学生熟悉的、感兴趣的活动，他们从自己和本组成员的实际情况出发，投入到问题的情景中去。在设计购买物品的数量，计算购买物品的钱数时，他们认识了“单价、数量、总价”，进而发现它们之间的关系，并初步应用数量之间的关系解决了问题。

好的数学问题可以感染和打动学生，激起学生强烈的求知欲。根据小学生的心理特点，将情趣置于问题之中，迎合学生新奇、好玩的个性心理。如在进行《长正方形周长》教学时，为了巩固对周长概念的理解和周长的计算方法，设计了这样的问题：小明围着半个篮球场，跑出了一个长方形的周长。你知道小明是怎样跑的吗？跑了多少米？看到这个问题，学生马上产生了疑问：小明到底是怎样跑的呢？在好奇心的趋势下，他们在印有篮球场的图纸上一边画一边算，直到寻求到问题的最终结果。

2、挑战性和思考性：学生要解决的数学问题应该具有挑战性。教师从学生发展的角度出发，提供出接近学生已有知识、经验、智能水平，但又必须“跳一跳”才有可能够到的问题。使学生有调动自己“技能”储备的愿望、展示自己“才华”的机会、锻炼自己“意志”的体验。例如在三年级《数量关系练习课》上，设计了这样的问题：乐凯胶卷举行促销活动，“买二赠一，买三赠二”。怎样购买胶卷更合算呢？面对刚刚学习的“商品中的数量关系”，学生有一种愿望，他们想试一试我学的知识能用吗？我能成为“购物小行家”吗？到底怎样买才真的“占便宜”呢？从学生的表现中，可以看出这是一份恰当的问题素材。

3、目的性和针对性：问题解决的学习，是以学生解决问题的过程为表现形式，其最终目的是在问题获得解决的同时，掌握知识技能，发展思维能力，培养良好的数学素质。所以教师要针对学生的实际情况，提供具有明确培养目标和训练方向的问题。例如在六年级《平面图形练习课》上设计的问题是：(1)用100米的篱笆,围一个面积不小于600平方米的羊圈，可以怎样围？你发现了什么？(2)用20米的护栏，“借墙”围一个面积尽可能大的种植园，你想怎样围？你发现了什么？（3）前后两次发现的结果有什么不同？得到的结论是什么？问题一的目的在于调动学生已有的平面图形的知识解决新问题，在解决问题的过程中发现周长与面积的关系。问题二的目的在于，诱导学生沿用刚刚研究的周长与面积的关系解决新问题，从中制造出认识上的矛盾，激发出学生进一步解决问题的欲望，从而达到认识上、知识上、技能上、思维上、情感上的更高目标。

六、问题解决的学习过程。

问题解决的学习过程，会受到学生的知识水平、思维水平、年龄特征、问题的内容、问题的难度、解决问题的环境等多种因素的影响。但就一般规律而言，基本可以确定为以下五个步骤：问题的感知和理解、方案寻求和确定、方法的实施和矫正、结果的表达和反思、。

1、问题的感知和理解

感知和理解问题是数学问题解决学习的第一步。学生面对问题的情景、语言、图画等信息，通过观察、阅读了解哪些是已知条件，哪些是可利用的信息？把这些条件、信息的表象在头脑中建立起来，看看还缺少什么？需要什么？明确问题的现有状态和想要达到的未知目标的状态。对于一些情景化的实际生活问题，可以利用原有知识的建构，转化成比较简洁、清晰的数学问题，便于调动已有知识技能去解决。例如结合六年级百分数的知识设计了《打折与策略》一课，问题情景是：麦当劳进行促销活动，有下列的优惠信息。

套餐 冰淇淋

8．00元 7．00元

第一周：每套打九折，买一个冰淇淋回赠2元券。

第二周：每套减价20%，买一个冰淇淋回赠2元券。

第三周：买五套以上打七折，买一个冰淇淋回赠2元券。

现在老师给每人20元钱，请你想三个问题：

(1) 你打算在哪一周买？

(2) 你打算怎么买？

(3) 设计方案的优点是什么？

学生面对问题，兴趣盎然的搜索有用的信息，并且和已有的折扣、百分数等知识联系起来，向着问题解决的目标努力探索。学生的认识问题、分析问题、理解问题、转化问题的数学基本素质，在解决问题的过程中得到良好的运用和培养。

2、方案寻求和确定

学生经过问题的感知和理解，接下来重要的步骤就是寻求和确定解决问题的方案。问题解决的方案可能会有许多种，同一问题可采用不同的方法和策略来解决。方案的选择主要依据问题的性质、内容，学生的知识、经验、技能。学生在可以想到的方案中筛选出自己认为比较有把握、简洁、易操作的方案来实施。

学生在寻求和确定解决问题的方案时，原有的认知结构将会作为问题解决新方案的基础。例如，在《小数乘法》的教学中，教师激发学生能不能根据已有的知识，研究出小数乘法的计算方法时，学生一要联系整数乘法的计算方法，二要联系小数点的移动规律，三要联系积的变化规律，使这些知识、技能处于激活状态，为解决小数乘法的计算问题做好准备。

3、方案的实施和矫正

学生在确定了解决问题的方案后，就要按照方案的特点制定实施的步骤。学生的计划，很多时候并不需要写在书面上，更多的是在学生的头脑中，他们经常处于边想边做的状态下。同时，学生在解决问题的过程中，经常会出现不期而遇的新问题。此时的学生是否具有修正方案，矫正策略的意识和能力呢？这是数学素质中高层次的表现。例如在前面提到的六年级《平面图形练习课》中，当问题“用100米的篱笆围一个面积不小于600平方米的羊圈”一呈现时，学生会在多种图形中尝试，正方形可以，圆形可以，长方形有时可以有时不可以。其中哪些长方形是可以的，哪些长方形不可以呢？学生一次次的调整长与宽，最终获得概括性的、规律性的结论。学生有了这样的尝试，这种经验不仅是知识技能上的收获，更是健康心理、积极情感培养的必经之路。

4、结果的表达和反思

学生经过一系列的复杂心理活动，终于赢得了问题的解决。怎样把解决问题的结果，呈现出来呢？这也是培养和体现学生数学素质的一个重要环节。布鲁纳的“表象模式”理论认为，学生可以通过三种不同的层次：动作、图画、符号文字来促进数学认知的发展。这三种方式都可以表达数学问题解决的经过和结果。面对自己解决问题的结果，作为问题的解决者——学生应该处于一种什么状态呢？他们应该认真审视这一结果，联系已知条件和解决的最终目标，在实际情景中检验结果的合理性、科学性、准确性、推广性。如果发现不能自圆其说，应该重新审视。例如还是在六年级《平面图形练习课》上，对于 “借墙”围的问题，当学生按照圆形面积大于正方形面积，正方形面积大于长方形的面积去设计解决时，他们突然发现结果不是这样的，这又是怎么回事呢？学生在反思中又有了新的发现，并且把这一发现和先前的规律一起来看，形成完整的知识体系。这样的过程，同样是培养学生数学素质的重要环节。

5、相互的评价和交流

数学问题解决以后，学生不仅借助动作、图画、符号文字把解决问题的结果呈现出来，更重要的是用这样的手段，加上听觉、视觉、触觉等感官，来接受和评价别人的数学思想。《国家课程标准》中明确提出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，教师要善于组织学生展开课堂讨论，学生是彼此的听众和评论员。他们既要用自己的观点说服别人，也要在接受别人观点的同时，产生疑问、提出质疑。在数学交流与碰撞中产生创新的火花，丰富数学素质。

七、问题解决的学习策略

  问题解决的学习，核心是问题，重点是过程、难点是指导、主体是学生。所以全面提高学生的数学素质是实现问题解决学习的保障，同时有效的问题解决的学习也会促进学生的数学素质的提高，二者是相辅相成的。为了实现这一双重目标，结合问题解决学习的实际，应注重以下策略的研究。 

1、激发学生的求知欲。

数学问题解决学习的主体是学生，学生的积极性是否被激发和调动起来了，是学习成败的决定性因素。因此，教师要善于激发学生的求知欲，诱发学生解决问题的需要，从而使问题解决的学习得以顺利实施。教师可以根据学生的实际情况和研究问题的内容特点，从以下三方面进行尝试：

（1）设计目的性强、趣味性浓、障碍性适当的问题。

（2）师生共同创设宽松、和谐、生动活泼的学习场景。

（3）为学生提供展示、交流、评价、反思的活动过程。

例如：在二年级教学《平均分》时，设计了这样一个情节：男女生课堂常规比赛，女生做的好，男生做的也一样好。教师发奖，男生1朵花，女生5朵花，可以吗？对花的数量不一样多，引起学生不满，抗议不公平。应该怎样分呢？学生进入本节课问题解决的学习中来。

练习部分，设计的问题是：教室里要布置一个学习园地，老师做了8朵花，摆在正方形学习园地的四周，要求每条边摆得一样多。你想怎么摆？ 学生的方案：每边摆2朵花，也可以每边摆3朵花。

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学生交流了设计的方案后，受到启发的学生提议，把学习园地设计成下面的形状，再平均分成4部分，分别展览数学、语文、外语、美术作业。但是不知道怎样平均分？教师组织学生共同解决这个问题，得到的方案有：

2、培养学生的思维能力。

学生数学思维能力的高低，直接影响着解决问题水平的高低。其中思维的概括性、问题性、逻辑性是学生思维能力的重要表现。因此，教师在教学中应该善于抓住每一个环节，下功夫培养学生的思维能力，为问题解决的学习提供强有力的载体。如：

（1）把数学思维能力的培养贯穿于教学始终。

（2）提供充足的数学思维材料和思考问题的时空。

（3）强化创造性思维、发展直觉性思维。

例如：在《平面图形练习课》上，当问题：用20米的护栏， “借墙”围一个面积尽可能大种植园，可以怎样围？一出现时，学生的直觉思维马上想到，应该围成圆，而且圆的面积大于正方形，正方形面积大于长方形。对于学生的这种直觉判断，教师引导学生自己去验证，并且启发学生还有没有其它的方案？有些学生试探着问，能不能借用两面墙，并且感觉这样围成的扇形应该比半圆还大。教师鼓励学生去尝试。

3、 强化学生的技能水平

学生已有的知识技能水平是问题解决学习的重要保障。在学生面临新问题时，这种 “已有的”知识、技能就是学习新知识、形成新技能的“推动器”。因此，教学中必须重视强化学生的基本知识、基本技能，使问题解决的学习扎实、深刻，实现真正的学习目标。

例如：在前面提到的《平面图形练习课》上，学生要验证自己的直觉判断，要试验自己的设计方案，必须有熟练的平面图形的基本概念、基本计算方法、基本计算能力、二维图形的空间观念作基础，否则问题解决的学习就会 遇到各种障碍，减弱学习的效果。

4、锻炼学生的心理品质

健康的心理品质是影响学生问题解决学习的重要因素。学生在通向问题解决的过程中，无法避免的要遇到各种各样的障碍和干扰，心理上会产生紧张、失望、焦虑等不良反应。教师必须遵循学生心理保健的原则，通过调整教学手段、创设趣闻情境等方法减轻和消除学生的不良心理。当然适当的培养学生的“受挫”心理承受力也是必要的，教师要随时洞察学生的解决状态，适时、适当的给遇到困难的学生，提供恰到好处的、必要的帮助。使他们既有心理锻炼的经历，又不产生过渡的心理疲倦和心理障碍。健康的心理能有效的提高学生问题解决的能力，发展学生的综合素质。

八、问题解决的学习意义

《国家数学课程标准》中提出，通过数学学习，应该使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获得发展，逐步学会从数学的角度提出问题、理解问题；在解决问题的过程中发展探索和创新的精神，体验解决问题策略的多样性；学会与他人合作，能比较清楚地表达和交流解决问题的过程和结果；学会解决问题，逐步形成评价与反思的意识。

从学生方面看：

1、有利于学生基本知识技能的掌握。

在数学问题解决的过程中，学生要主动地将原有知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。

2、有利于学生解决实际问题能力的提高。

学生学习、积累的数学知识、技能，只有在解决问题的过程中，才能感受到它的价值和意义。也只有通过这样的过程，学生的问题解决能力才能得到发展和提高。因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是综合运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。

3、有利于学生数学意识的形成。

在数学问题解决的过程中，学生面临问题时，要运用哪些数学知识？怎样去运用这些知识才能使问题得到解决？他们必须做出明确的认识。因此，数学问题解决的学习，能有效地培养学生的数学意识，使得学生学会用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法来分析生活中的现象。初步体验到运用数学知识解决问题后的成功感受，增强学生学好数学的自信心，更加深刻地感悟出数学知识的实际作用。

3、有利于学生创新精神的培养。

 数学问题解决中的问题，对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决？肯定没有现成的方法和措施，需要学生根据具体的问题情景去探寻和发现。所以说，数学问题解决的过程，又是一个创新的过程，是培养学生创新素质的良好契机。

从教师的角度看：

面对高速发展的社会环境，每个人都被各种各样的“问题”所包围。教师协助学生进行问题解决的学习中，遇到的问题也会层出不穷。因此问题解决的学习，有助于教师面对教育的新需要，学生的新需要，问题解决学习的新需要，不断调整自己的定位，找到发挥指导、组织、参与作用的最佳切入点。创造性的运用：“民主原则”、 “无错原则”、“主体原则”，营造宽松融洽的学习氛围；创设处于学生“最近发展区”的数学问题；提供解决问题的基本策略和方法。使得教师的教育教学行为“与时俱进”地得以优化。

九、关于数学问题解决学习的评价

（一）问题解决学习的评价内容，如：

1、在特定的情景和日常生活中发现的数学问题；

2、为解决问题，收集整理的有关信息和资料；

3、制定的解决问题的方案和过程；

4、呈现的活动报告或数学小论文；

5、对问题解决的反思与矫正。

（二）问题解决学习的评价方法。

  可以采用： 学生自评和互评，而不仅仅局限于教师对学生的评价。也可以让家长和有关人员参 与评价过程。评价方式应当多种多样，既可用书面考试、口试、活动报告等方式，也可用课堂观察、课后访谈、作业分析、建立学生成长记录袋等方式。

每种评价方式都具有各自的特点，应结合问题解决的内容及学生学习的特点，选择适当的评价方式，以考察学生的问题解决学习的效果，反映学生的进步历程。

（三）学生问题解决学习的评价原则：

1、 评价的激励性原则：把评价作为学生学习的一种动力，激励学生向下一个目标努力，充满信心。

2、 评价的多样性原则：等级评价与评语评价相结合；全程评价与结果性评价相结合；笔试、口试、操作、设计等形式相结合；自评、互评、教师评、家长评相结合。力争全面评价学生问题解决的学习效果和发展水平。

3、 评价的多元性原则：评价要注重对学生问题解决综合能力的考察，把评价的价值定位在促进学生全面提高数学素质的功能上。以质的评价统整，量的评价结合，形成多元的评价方法。

4、 评价的主体性原则：评价要保护学生的自尊心和自信心，体现尊重与爱护，关注个体的处境与需要。

十、对问题解决学习的两点思考：

（一）“问题解决”学习的主要目的是：通过学生分析问题、解决问题的全过程，发展基本的数学思维，培养学生自我控制、自我调节的学习策略，强化数学意识。所以要正确处理教师、问题、学生之间的关系，使问题解决的学习落到实处。

（二）“问题解决”的学习，必须纳入到“小学数学知识体系”中，融入到小学数学教学的体系中，才能真正发挥它的作用。脱离了 “基本”，独树一帜或完全摒弃，都是不可取的。　　

十一、附录

（一）问题解决学习中的问题样例。

1、教学“比例尺”的问题设计：（六年级第二学期）

情景：请你以成年人和6岁儿童的手印为根据，分别为他们设计不同规格的、使用合适的书籍、桌子和鞋子。

2、教学“长正方形的面积”的问题设计：（四年级第二学期）

情景：装修新房间

问题一：在客厅里，划分出一个餐厅，怎样做到既合理又方便呢？

问题二：客厅、餐厅的顶面需要吊顶，有这样两种材料：一种是边长1米的正方形，每块28元；一种是长2米、宽1米的长方形，每块54元。

l 你选择哪种材料？

l 你选用的材料需要多少块？共多少元？

l 把你的设计方案摆一摆，填入表中。

（二）问题解决学习中的部分问卷调查举例：

1、当你面对生活中需要解决的问题时，你会想到学过的数学知识吗？解决过的数学问题吗？

2、想一想最近十天内，在校外解决的日常问题，用到了哪些数学知识？

3、在数学课上，你愿意面对新问题吗？什么样的新问题？（容易想的、有些难度的、非常具有挑战性的）

4、面对新的数学问题，你首先会看什么？想什么？再继续想的依次有哪些？

5、你愿意给别人提出新问题吗？

6、你愿意把自己解决问题的成果和大家一起分享吗？

7、你愿意让别人评价，并指出你在解决问题中的不足吗？

8、当你发现原定的方案有问题时，你是自己改正？还是请别人帮忙？还是放弃不作了？

9、你喜欢自己解决问题，还是和伙伴一起进行？和老师一起？

10、  你喜欢用什么方式呈现你解决问题的结果？（动作、图画、文字、符号）

……

参考文献：

《数学教育展望》 华东师范大学出版  主编 钟启泉

《国家数学新课程标准》

《小学数学课程的标准比较研究》 华东师范大学出版 黄建弘  编著

《教学应重视创设问题情景》 小学数学教育2003、1、2合刊  沈晓东

《数学问题解决的学习》 重庆市教育科学研究所 李光树

《面向21世纪的数学素质及其培养》浙江省新昌县大明市镇三联小学 王永锋