任景业

我国古代数学名著《孙子算经》有一道题：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何：答曰雉二十三，兔一十二。”

这是后世“鸡兔同笼”题的始祖。美籍匈牙利数学家乔治·波利亚在他的著作《怎样解题》中也有类似的问题：

一个农夫有若干鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各有多少？

波利亚先给出了一个很巧妙的解法：

“农民惊异地看着鸡兔们非凡的表演：每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来”。

显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是70，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等的，兔子的脚数是兔子的头数的2倍。所以，从70中减去总的头数50得20，就是兔子的头数。当然，50-20=30，鸡就是30只了。

问题是，这个想法是奇思妙想，如果我们想不到，也就是说“兔子不站起来”怎么办？

我们先看一个最笨的方法：“一一试凑”，看一看一只鸡有多少脚，一只兔子有多少脚，一个一个逐一试验，总能找出答案吧。不过也不能太笨了，还是画一个表格表示吧。

由于头数是50，所以我不是从1开始数起,而是先设鸡有49只，再逐一递减。不要认为这种方法太麻烦没有价值，有了计算机，在计算机上去做会是很容易的事。

除此之外，我们再观察一下这个表格，你发现了什么？随着兔子数的增加，脚也在增加。这是因为每只兔子的脚数与鸡的脚数多两只的缘故。如果每只兔子的脚数与鸡的脚数一样，那么脚数应当是头数的2倍，是100只脚，现在是140只脚，多出40只脚，这多出的脚数应当是在这一群动物中有兔子的原因。有1只兔子应当多2只脚，有2只兔子应当多4只脚，…所以，多40只脚，应当是有20只兔子。这样想也能解决这一问题。

波利亚没有用这种方法，他也没有用上计算机。他给出了另一种解法：“如果我们懂一点代数知识的话，我们可以不凭偶然的试算，不凭运气，而用方程去解决这个小问题。”

列方程要学会把日常语言翻译成代数语言：(见下表)。

这样，我们就得到了一个一元一次方程：

2x+4（50-x）=140

解得： x=30。

所以50- x=20

这样就可以得到，有兔子20只，鸡30只。

鸡兔同笼”问题在民间也广为流传，甚至编入了小说。在我国著名的古典文学《镜花缘》（李汝珍著）第85回里就有这样一段故事：

宗伯府的女主人卞宝云邀请女才子们到府中的小鳌山观灯。妆众才子在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂灯球，五彩缤纷，宛如列星，高低错藩，竟难分辨其多少。

卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目。她告诉米兰芬，楼上的灯有两种，一种上做三个大球，下缀六个小球，计大小球九个为一灯；另一种上做三个大球，下缀十八个小球，计大小球二十一个为一灯。楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀两个小球；另一种是一个大球，下缀四个小球。她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个。米兰芬想了一想，请宝云命人查一下楼上楼下大小灯球各多少个。查的结果是：楼上大灯球共３９６个，小灯球共１４４０个，楼下大灯球共３６０个，小灯球共１２００个。米兰芬按照《孙于算经》中“鸡兔同笼”问题的解法算出了答案，卞宝云让人拿做灯的单子来念，果然丝毫不差。大家莫不称为神算。                      

答案是：楼下4小球灯240个，2小球灯120个；楼上18小球灯54个，6小球灯78个。原书的作者给出的答案是楼上6小球灯有68个，有误。你可以实际动手进行验证，看一看你和卞宝云谁是真正的“神算”。