苏教版课程标准数学实验教材四年级（下册）“倍数和因数”单元，教学非零自然数的一些特点以及相互关系，进一步充实有关自然数的知识，并为教学分数知识作些准备。与过去的相关教学内容相比，本单元把“约数与倍数”改成“倍数和因数”，尽量使中小学的数学概念相衔接；兼顾学生的认知特点和数学知识的逻辑关系，重新组织知识体系，精简了整除、质因数、分解质因数等内容，保留了学生必需掌握的基础知识和基本方法 , 促进学生主动建构新知。本单元的知识结构和编排线索如下：

一、在操作活动中得出乘法算式，举一反三体会倍数和因数的意义

倍数和因数的概念是本单元的重要知识，其他内容的教学都以此为基础。教材的例题先安排了小组活动，让学生用 12 个同样大的正方形拼成一个长方形，并用乘法算式把不同的拼法表示出来，之后教学倍数和因数的意义。教材安排用正方形拼成长方形的活动引入倍数和因数有三点原因：第一，倍数和因数是抽象的数学概念，动手操作能激发学生的学习热情，有利于改善学生的学习方式。第二，倍数和因数是相互依存的概念，共同反映非零自然数之间的关系。长方形里每行正方形的个数、摆的行数以及正方形的总个数三者之间蕴含了这些关系，有助于学生体会概念的含义。第三，用同样大的正方形拼成长方形这一活动，学生曾经在三年级（下册）的学习中进行过，因而会有不同的拼法和思考，从而得出不同的乘法算式，为教学倍数和因数的意义提供丰富的现实素材。

例题充分利用写出的三道乘法算式教学倍数和因数的意义，为学生设计了“接受、领会 -- 模仿、理解”的学习过程：先结合算式 4 × 3=12 介绍“ 12 是 4 的倍数， 12 也是 3 的倍数， 4 和 3 都是 12 的因数”，让学生读读、想想这几句话的意思，初步感受倍数和因数的意义是与乘法有联系的，表达的是自然数之间的关系；接着要求学生根据 6 × 2=12 、 12 × 1=12 说说哪一个数是哪一个数的倍数（或因数），在迁移中进一步认识倍数和因数的意义。其中 12 是 12 的因数、 1 是 12 的因数， 12 是 12 的倍数等特例，为后面的教学扫除难点。

研究倍数和因数，如果不排除 0 这个数，就会带来一些既麻烦又没有多大价值的问题，如“ 0 是不是其他自然数的倍数”，“ 0 是不是 0 的因数”等，最主要的是会涉及到今后学习最小公倍数的概念。所以，教材在第 70 页的底注中作了说明：“所说的数一般指不是 0 的自然数。”这一规定不必对学生作解释，只要教学时不涉及 0 就可以了。

“想想做做”第 2 、 3 题联系实际问题，让学生进一步体会倍数和因数的意义，体会倍数、因数关系存在于具体的数量关系中。在填表之后要组织学生讨论“茄子”和“白菜”卡通提出的问题，分别从“乘坐人数× 4= 应付元数”和“每排人数×排数 =24 ”的角度进行解释。

二、应用倍数和因数的概念，探索找一个数的倍数或因数的方法

找一个数的倍数或因数，既能巩固倍数和因数的概念，也为研究 2 、 5 、 3 的倍数的特征以及建构素数和合数的意义做准备。探索找一个数的倍数或因数的方法，教学重点是建立相应的数学模型，经历“实际问题 -- 数学模型 -- 解释应用”的过程。

第 71 页的两道例题分别教学找 3 的倍数、 36 的因数，利用“你能找出多少个 3 的倍数”和“你能找出 36 的所有因数吗”这些有挑战性的问题，鼓励学生独立思考、自主探索。教学找 3 的倍数，要引导学生根据 3 的倍数的意义建立“ 3 ×（） = （）”这一数学模型，依次得到 3 × 1=3 、 3 × 2=6 ……并在从小到大有序地写出 3 的倍数过程中，体会 3 的倍数有无数多个。教学找 36 的因数，可引导学生先想什么样的数是 36 的因数，从“（）×（） =36 ”推出“ 36 ÷（） = （）”的模型。为了不重复、不遗漏地找到 36 的全部因数，除数可依次选 1 、 2 、 3 ……进行尝试。先通过已经写出的 36 ÷ 1=36 和 36 ÷ 2=18 ，体会在没有余数的除法算式中，每次计算能找到 36 的两个因数；再通过 36 ÷ 3= （）和 36 ÷（） = （），试着自己找 36 的因数，体会在有余数的除法算式中，除数和商都不是被除数的因数；最后在 36 ÷ 6=6 这道算式中，看到它的除数和商相同，体会根据这道算式只能找到 36 的一个因数，而且找到这个算式就找出 36 的所有因数了。

教材在两道例题之后各安排一次“试一试”，既能帮助学生及时巩固在例题里学习找一个数的倍数和因数的方法，又能为学生提供更多发现一个数的倍数和因数的规律的素材。这样安排，使得一个数的倍数和因数的规律不再是机械记忆的知识，而是学生在充分经历找倍数和因数的过程中形成的体验。这些体验，丰富了学生对倍数和因数概念的认识。

《数学课程标准（实验稿）》明确要求：在 1~100 的自然数中，找出 10 以内某个自然数的所有倍数；在 1~100 的自然数中，找出某个自然数的所有因数。教材在编排练习题时，严格遵守这些规定。第 73 页第 5 题写 7 的倍数，只要从小到大写出若干个，并用省略号表示个数无限。而 6 的倍数，只要写出 40 以内的。第 8 题让学生体会倍数、因数是相对的，如 16 是 8 的倍数， 16 又是 48 的因数。在说倍数与因数的时候，要表达完整，不能说成“ 16 是倍数”或“ 16 是因数”。

三、选择适宜的方式教学 2 、 5 、 3 的倍数的特征

教学 2 、 5 、 3 的倍数的特征，能进一步理解倍数的意义，掌握找一个数的倍数的方法，还能发展抽象思维，培养探索规律的能力。 2 和 5 的倍数的特征都表现在数的个位上，比较明显，容易发现。教材编排了一道例题，引导学生通过操作、观察、比较、分析，主动发现和归纳特征。例题呈现了百数表，让学生在百数表里 5 的倍数上画“△”， 2 的倍数上画“○”。先观察 5 的倍数，个位上的数是 5 或 0 ，再把视线转移到 2 的倍数上，发现这些数个位上的数是 2 、 4 、 6 、 8 或 0 。最后，学生还能发现，百数表里有一列数上画了“△”，也画了“○”，这些数既是 5 的倍数，也是 2 的倍数。在教学 2 的倍数特征的基础上，教材介绍了偶数和奇数的概念。

3 的倍数的特征比较隐蔽，学生一般想不到从“各位上数的和”去研究，教材注意引导学生经历探索的过程。首先，在百数表里圈出 3 的倍数，这些数的个位上有的是 1 ，有的是 2 ，还有 3 、 4 …… 8 、 9 、 0 。让学生初步发现 3 的倍数的特征与 2 和 5 的倍数不同，不表现在数的个位上。在此基础上，利用计数器转移探索的方向。让学生从百数表里找出几个大小不同的 3 的倍数，并在计数器上表示出来，看看各用了几颗珠，发现在计数器上表示 3 的倍数，所用的数珠是 3 颗、 6 颗、 9 颗、 12 颗……数珠的颗数都是 3 的倍数。在各个计数器下面的加法算式 2+7=9 、 4+2=6 、 7+5=12 ，算的是拨出每个数所用数珠的颗数，也是每个数各位上数的和。把数珠颗数抽象成各位上数的和，是理解 3 的倍数特征的关键。“试一试”是教学的第三步，如果一个数不是 3 的倍数，那么这个数各位上数的和不是 3 的倍数。利用反例进一步证实 3 的倍数的特征，体现了数学的严谨性和数学结论的确定性。

为了更好地引导学生掌握 2 、 5 、 3 的倍数的特征，教材在两次“想想做做”中都设计了有层次的练习。第一层次是前两题，让学生根据特征直接作出判断；第二层次是应用特征开展简单的推理活动，发展思维。如，在 0 、 5 、 6 、 7 四张数字卡片中选出两张组成偶数，学生只要根据 2 的倍数的特征，思考四张数字卡片中能放在个位上的只有 0 或 6 ，如果把 0 放在个位上，可以组成 50 、 60 、 70 三个偶数；如果把 6 放在个位上，可以组成 56 、 76 两个偶数。又如，在 0 、 5 、 6 、 7 四张数字卡片中选出三张组成 3 的倍数的三位数，解决这个问题既应用了 3 的倍数的特征，又利用了第六单元“找规律”里获得的知识和经验。

四、引导建构对素数和合数的认识

素数和合数的知识是在找一个数的因数的基础上安排的。大于 1 的自然数，不是素数就是合数。第 78 页的例题先让学生分别写出 2 、 3 、 5 、 6 、 8 、 9 这六个数的所有因数，不但复习了旧知识，还体会了各个数的因数个数有时并不相同，从而产生研究自然数的因数个数的需求。在此基础上，让学生把六个数按因数的个数分类，进一步了解有些自然数只有两个因数，有些自然数的因数超过两个。在把六个数分类的时候，可让学生适当尝试，然后引导学生明确教材分类的标准，体会这一标准的合理性。教学的重点是让学生讨论只有两个因数的数，它们的因数有什么特点。突出两个因数中一个因数是 1 ，另一个因数是它本身，这样的数叫素数；如果一个数除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。最后，还要让学生体会为什么 1 既不是素数，也不是合数，进一步明确素数和合数概念的内涵。

“试一试”和“想想做做”第 1 题，都要先写出一些自然数的所有因数，再指出它们是素数还是合数，帮助学生重温素数和合数概念形成的过程，学会判断一个自然数是素数还是合数的基本方法。第 2 题用“筛法”在 2~50 的自然数中逐渐去掉合数，剩下素数。在划掉 2 、 3 、 5 、 7 的倍数的时候，要提醒学生把 2 、 3 、 5 、 7 这四个数留下来不能划去，并体会划去的都是什么数，留下的又是什么数，还要看一看 50 以内有哪些素数，尽量记忆 20 以内的素数。第 3 题在给定的自然数中辨认素数和合数，可以根据素数和合数的概念分析每个数各有几个因数，作出相应的判断。其实，对于某个自然数，只要在 1 和它本身外，再找到一个因数，就能确定这个自然数是合数。也可以对照第 2 题数表里划掉的数和留下的数回答问题。

本单元教学的概念比较多，有些概念往往会相互混淆，如质数与奇数，合数与偶数。第 81 页第 6 题在 1~20 的数表中画“○”圈出所有素数，画“△”圈出所有偶数，复习了素数和偶数的意义。在 2 的上面既画了“○”，也画了“△”，表明 2 是素数，也是偶数。这就充分说明素数不都是奇数，偶数不都是合数。这样的辨析并不是让学生进行纯粹的理性思考，而是结合实例进行比较。在第 8 题里能体会奇数不都是素数。第 7 题在探索规律的过程中，应用并巩固自然数、奇数、偶数、 3 的倍数等知识，开展在若干个实例上进行不完全归纳的思维活动。要指导学生先选择三个较小的数算算想想，再选择三个较大的数试试，通过几次实验才得出结论，培养严谨的认知态度。