作者:南京晓庄学院教科院 刘娟娟   录入时间:2005-7-13  阅读次数:3562 

 一

“可能性”作为新课程中新增加的数学内容，正在被广大的小学教师和小学生慢慢熟悉，但是相关的教学还仅仅是一种尝试，教学中的问题也不断地出现，如：究竟什么是“可能性”，为什么要学习“可能性”，以及用什么样的方式来进行教学，还有许多老师不太明确，教学中也把握不准，所以教学中就有了这样的现象：

【现象一】“妈妈明天一定会给我买新书包”是确定现象吗？

 “可能性”学完后，教师在黑板上写下了：“一定”，“可能”，“不可能”，然后让学生用这三个词分别来说句话，有学生说：“太阳一定会从东方升起”，老师肯定了它的回答；又有学生说：“妈妈明天一定会给我买新书包”，教师对此不置可否，又接着请其他学生继续说。听课的老师却都在议论纷纷：“这件事情一定会发生吗？”课后，执教老师认为：这件事情并没有发生，所以不是确定的。但是，明天太阳一定会从东方升起，这件事情也没有发生，但是却是确定的。这又怎么解释呢？

【现象二】“为什么连续六次都摸到白球？”

在一次“可能性”的教学中，教师在一个不透明的盒子中放入一个白球、一个黄球，然后要求学生任意摸一次，问结果会怎样？学生回答：“可能摸到白球，也可能摸到黄球。”然后教师就让学生摸球，来确认是否是这样的。结果，连续六位同学都摸到的是白球。怎么会这样呢？就连上课的教师也产生了疑惑，不知道该如何去面对教学中出现的这样的问题。

对于上述的现象，若想作出正确的解释，应该要追根溯源，从究竟什么是“可能性”和“概率”和儿童是如何建立起这些概念这两个方面去进行探究。

二

提到“可能性”，就不得不提到“概率”，因为很多小学老师都认为“可能性”是“概率”的代名词，那是不是这样呢？根据《现代汉语词典》中有关概率的解释：“某种事件在同一条件下可能发生也可能不发生，表示发生可能性大小的量叫做概率。也叫几率，旧称或然率。” 有些关于概率的书中也这样界定概率：“它是随机事件发生可能性大小的数字度量。”如，投掷一枚硬币，一面朝上的可能性有多大呢？大概是。这个就是我们所讲的投掷一枚硬币一面朝上的概率，它不是某几次投掷硬币的结果，而是在多次投掷之后得到的结果。可见，概率是客观存在的随机现象在统计上的规律，这种规律为人们所认识，反映在人们的头脑中，就成为了概率概念。

随着社会的进步和发展，概率已经渗透到了社会的各个角落，著名数学家拉普拉斯说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题”。如生活中，人们经常听到这样一些话：

你最好带伞，因为可能会下雨。

从南京到香港不可能只用20分钟。

我几乎可以肯定我们会赢。

我们可能不会迟到。

这些话语中我们都可以看到概率知识的存在。同时，小学阶段的孩子也常常会明确地谈到与自己特别相关的事情的确定性和可能性。因此，向儿童介绍概率的知识就成为了小学数学教学的任务之一了。但是在小学数学的教学中，根据小学生的认知水平，应当尽量避免学习过多的、深奥的术语，并且注意非形式地介绍概率思想，而非严格的定义、单纯的计算，所以不便出现“概率”一词。

根据前人的实验研究表明，儿童掌握概率概念，从最初萌芽到具有一定的认知基础，再到基本形成，不是一下子发展起来的，要经过一个从低到高、一步一步逐渐发展的过程。最初是要积累有关“可能性”的经验，了解事件出现的可能性，继而是认识事件出现的随机性，这是儿童关于概率概念的最初萌发的认知基础。以后有了事件发生可能性大小的观念，认识可能性大小的具体数量，进而用分数或百分数表示可能性的大小，从而掌握科学的概率概念，这个过程大约要从小学三四年级起，到高中二年级才能完成。因此，我们可以认识到事件出现的“可能性” 是学生掌握概率概念的必要基础，但是，并不能在这两个概念中简单地画上等号。

从上面的叙述中，我们还可以知道一个事件，一个现象出现不出现，发生不发生，是研究可能性的基础。例如，每天太阳都会从东方升起；在欧式几何中，三角形的内角和总是180°；在标准大气压下，水加热到100℃就会沸腾。总结以上现象，我们可以发现它们都有着共同的特点，那就是：服从特定的因果规律，从一定的条件出发，一定可以推出某一结果，这一类现象就是“必然现象” （或确定性现象）。

再如，抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面；明天可能会下雨；某一个城市一天中发生交通事故的次数，可能多于10次，也可能少于10次。这些在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象（或不确定性现象），作为随机现象一般要具有两个特点：

第一，  其结果至少要有两个；

第二，  至于哪一个出现，人们事先并不知道。

这样，我们回过头来，看本文开头的现象一：教师让学生用“一定”说一句话，其本意是让学生说一个必然现象，而学生却说出了“妈妈明天一定会给我买新书包”，这句话从逻辑的角度来看是说得通的，但是这个事件却不是一个必然现象。不是因为它是否已经发生，而是因为它将有两个结果出现，而至于哪一个出现，我们事先并不知道罢了。那为什么儿童会出现这样的回答？这是由于儿童的思维发展水平有限。我们都知道儿童的思维正处在以具体形象为主逐步过渡抽象逻辑思维为主的时期，其思维与学生的感性经验联系比较多，因此当教师让学生用“一定”造句时，儿童自然会联想到自己的生活经验，而不是从数学的角度来谈此问题，即使有儿童正确地说出了：“明天会有人走路”，我们也不能确定他是从概率的角度来回答的这个问题。作为教师，我们要从数学的角度提出问题，如：“小朋友们，想一想哪些事情是一定会发生的？”而不能简单地企望让学生用造句来理解事件发生的可能性和必然性。同时，教师要用发展的眼光来看待学生有关概念的建立，而不能急于求成。

虽然随机现象具有不确定性，但是它也是具有规律的，正是因为它的这一属性，才使得它与数学发生了联系。可是人们在平时零星的观察中一般不容易发现随机现象背后的规律。如本文开头的现象二，具有概率初步知识的人都知道，在这样的情况下，摸到白球和黄球的可能性是一样的，但是这并不意味着第一次摸到的是黄球，第二次一定摸到的就是白球。因为，这里的可能性一样是针对某一次摸球而言的，即不管前面摸了多少次白球，下一次摸球时，出现白球和黄球的可能性仍然是相等的，各为二分之一。教师如清楚地认识到了这一点，就能理解出现连续摸到六次白球的情况也是有可能存在并且发生的，同时也能够引导学生使其在学习中对此问题有较为清楚地认识。针对现象二，以下值得借鉴的做法：

当学生连续三次摸到白球后，教师可以提问：

（1）怎么会连续三次摸到白球？（目的是引导学生感悟到每次摸球的结果在摸之前是无法确定的，连续多次摸到白球也是有可能）

（2）第四次会摸到什么颜色的球？（目的是使学生认识到前一次摸球的结果并不对后一次产生影响，初步感悟到随机事件的发生和人的心理期望没有任何关系。）

当学生连续六次摸到白球后，教师可以提问：真得摸不到黄球吗？（目的是使学生明确：盒子里有黄球，只要不停地摸下去，是一定能摸到黄球的。并为今后学习等可能事件打下基础，即摸的次数足够多时，那么摸到的黄球和白球的次数大致相等。）

当学生第七次摸到黄球后，教师可以引导学生说说对“可能性”有了哪些认识？引导学生阐述对可能性含义的理解。

通过以上的层层设问，教师帮助学生搭建了一个思维的阶梯，有助于引导学生深入理解“可能性”的含义，也就是促使学生进一步理解事情发生的确定性与随机性。

其实，上述两种情况都是概率教学的难点。造成教学困难的原因有，概率的概念比较抽象，而我们对概率的教学又缺乏相应的经验，因此利用和参考别人的研究成果，来了解学生学习概率时可能出现的问题，是我们可以借鉴的一条途径。根据李俊对学生在概率学习过程中形成错误的概念研究，学生常常根据自己的经验和直觉来判断事情的发生与否，而不从数据上入手来考虑；学生“以为不太可能就是不可能、很有可能就是必然，以及可能发生与必然发生之间的混淆是两种普遍存在的错误”；学生还会错误地认为实验“重复次数越多，结果表现得越没有规律”；又如在教学“从一个装有一个黄球和一个白球的袋子中，摸出黄球和白球的可能性是一样的”时候，教师却不一定能在几次甚至几十次的试验后保证学生能够观察到这一事实。

因此在有关概率的教学中，教师要注意采取多种形式帮助学生建立对事情的正确表象，并事先对学生的情况进行了解，如知道学生可能对哪些问题容易出错，不同的学生可能存在哪些不同的错误，从而有针对性地采取一些措施，这样教学的效果可能会更好。

三

在小学阶段教学“可能性”除了是为今后的进一步学习打下必要的基础外，更重要的是培养学生的随机意识，以便更好地处理学习和生活中的问题。

在我国的教材中，常常把随机问题的有关数据采集好后，作为已知条件列在例题或习题中，然后借助这些数据进行随机概念的教学。在这样的情形下，学生习惯的把这些数据当作是确定的数进行处理。而且知道每一个问题都有唯一的、确定的答案。大与小、是与否、优与劣都有绝对的判断。在这个过程当中，事实上学生并没有产生随机的观念。所以笔者认为，统计与概率的教学重点应当是让学生建立随机的观念，而不是知识本身。在长期的“确定性数学”的教学熏陶下，即使我们教会了学生完备、正确的共识和方法，但当他们面对一些很简单的、非纯粹数学问题时却不能应用自己辛辛苦苦学来的随机知识去解决。

例如：张华、李明、赵强三位学生在这学期的三次数学测验成绩如下：

测验       学生

 一

 二

 三

张华

 68

 75

 90

李明

 82

 82

 82

赵强

 100

 80

 75

要比较这三个学生的成绩谁最好。可能有人说张华最好，因为目前它的成绩最好，而且成绩呈上升的趋势；也有人说；李明的成绩最稳定，而且稳定在良好的状态；也有人说赵强的总分最高。他们各有理由。事实上，在现实生活中有很多问题是这样的，没有一种程式化的评判方法，也不能简单的认定哪种答案是正确的，哪种答案是错误的。在概率的教学中，我们要预计到同一组数据有很多不相同的解释，同一个问题可能有很多不相同的答案。同一个问题可能有很多不相同的答案。因此，随机意识的培养很重要。

对于随机意识的培养可以从以下几个方面入手：

一、教学中要注重联系

1、 注重偶然性与必然性之间的联系

必然性与偶然性虽然有很多差异，但是也非泾渭分明，其实是“你中有我，我中有你”。任何一个随机试事件的发生都有其的偶然性，但是也包含着一定的必然性，这种必然性表现在大量重复的试验或观察中呈现出固有的规律，这就是随机现象的统计规律。例如，一个口袋中装有两个红球和一个黄球，从袋中随机地摸出两个球，观察它们的颜色。在这个试验中，“摸出的两球都是红球”和“摸出的两球一个红一个黄”都是随机事件，事件的发生具有偶然性；而“摸出的两球中至少有一个红球”是必然事件，“摸出的两球都是黄球”是不可能事件，他们都具有必然性。如果摸球的次数增多，还会进一步发现“摸出的两球都是红球”这一随机事件发生的可能性接近，这又体现了在偶然性中包含着必然性。概率论与数理统计的研究目的就是从偶然性中探求必然性，从混沌中找有序，该学科本身也体现了偶然与必然的辩证关系。

2、 注重联系生活实际

概率与统计的对象大多来源于生活，其教学自然也不能脱离生活实际，教学中为学生提供问题的实际背景，不但有助于学生对相关知识的理解，还能让学生看到数学知识在生活中的应用价值。如生活中有些商家经常举行“摇奖”活动，如只要购物满百元，就可以通过转动转盘（如图所示）来进行兑奖，即只要转动转盘，指针指在那个区域内，就是几等奖。通过对这类问题的讨论和研究，学生了解到获得一等奖的可能性最小，不但加深了对可能性的认识，也了解了商家搞活动的用意，也为形成随机意识提供了素材和可能性。

3、注重与统计知识相联系

统计与概率是密切相关的内容，通过统计随机事件发生的次数可以来理解事情发生的可能性大小。因此，可能性的得出要借助于统计的方法。例如，人们在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，通过统计就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的1/2左右。

二、教学中要注重实践

儿童的思维特点是：从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。但这种抽象逻辑思维在很大程度上，仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。要让学生能够理解事情发生的可能性，只有学生亲自动手去做、去感受体验，他们才能相信有些事情是可能发生，有些事情是不可能发生的，从而随机意识才有可能萌发。因此在“可能性”的教学中要注重学生的参与和实践。就小学数学教材中的安排而言，摸球、抛硬币、转圆盘等都是比较好的活动，有利于学生的参与。

三、注重推理

表面看上去，概率的有关知识缺乏通常意义下数学的严谨性，似乎无推理可言，但实际上概率中也是有推理的。如，一个袋子里两个球，从中摸出一个球，是黄色，连续再摸几次都是黄色，那我们可以说：“这个袋子里可能都是黄球”，这是一种合情推理；如果连续再摸时，摸到了一次是白球，那我们就可以肯定：“这个袋子里一定是一个黄球和一个白球”，这又是逻辑推理。在教学中我们可以通过让学生猜一猜等活动，发展学生的合情推理能力，也可以通过看一看，培养学生思维的严谨性。