广州市越秀区教育发展中心 黄健华

所谓数学直觉，是人脑对数学对象、结构、关系以及规律性的某种直接领悟或洞察。它表现为对数学对象事物的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断、整体的把握，是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性，属于非逻辑的方法论范畴。本文就数学直觉的有关问题作初步的探讨。

一、数学直觉的产生机制

对于数学直觉的产生机制，目前尚无定论。一般认为，数学直觉的产生与大脑机能、潜意识和主体数学直觉认识结构密切相关。

（一）数学直觉是人脑的一种高级机能

脑科学的研究发现：人脑左半球是处理语言、进行抽象逻辑思维、集中思维、分析思维的中枢，具有连续性、有序性、分析性等机能；右半球则是处理表象，进行具体形象思维、发散思维、直觉思维的中枢，具有不连续性、弥漫性、整体性等机能。前者是串行的、继时的信息处理，是收敛性的因果式思考方式；后者是并行的、空间的信息处理，是发散性的非因果式的思考方式。

科学研究还发现：大脑两半球既有分工、又能通过胼胝体（连结左右半球的横行神经纤维）的相互作用，共同进行思维。数学直觉的产生，是主体从左脑有关的数学记忆痕迹中获得了必要的信息，重新组织原来的知觉过程，形成新的暂时神经联系的结果。这种形成过程之所以没有被意识到，是由于这种新的暂时神经联系可以在大脑优势兴奋中心的边缘抑制区内以“突然拓通”的方式形成之故。因此，数学直觉的生理基础主要是右半脑的功能，同时也是大脑左右半球交互作用的结果。

（二）数学直觉来自于主体的潜意识

潜意识是人自己的意识所不能触及的心理过程或神经状态。心理学家弗洛伊德认为，每一种心理过程最初都存在于潜意识的状态或时相，在一定条件下，它才会从无意识系统过渡到有意识系统。

根据弗洛伊德的潜意识理论，我们认为，思维者主体长期的学习所得、知识经验的积累、环境的影响以及对数学对象事物不断的思考，确实会在心灵深处无意识地积累起来。这些知识信息并不会真正被遗忘，而是以记忆的方式深浅不等地保留着，储存在潜意识之中。潜意识一旦受到外因条件的触发，就会传递到意识中来，与意识的认知活动交互作用，从而表现为某种“灵感”和“顿悟”，即数学直觉。

（三）数学直觉是大脑激活主体数学直觉认识结构的心理过程

人们在日常生活、工作和学习中，经常会遇到类似的数学问题要解决。这些问题的反复出现，以及解决问题所用知识、方法与手段的反复使用，使解决这类问题的知识、方法与手段内部之间的联结加强，形成一个知识结构单元，其联结的方式就成为思维方法。随着数学认知实践活动的不断深入，不同的知识结构单元经过多次组合反应，逐渐凝聚在一起，形成一个“整体”。在不同情境的应用过程中，这个“整体”主动与个体原有的知识经验、心理结构以及客观的知识结构进行交互作用，并通过同化和顺应得到发展和完善，实现思维过程的自动化，逐步形成相对稳定的数学直觉认识结构。数学直觉认识结构是抽象与形象的结合，既是知识的浓缩，又是形象的结晶。它不仅包括结构性的知识和大量非结构性的经验背景，而且不同程度地由显意识转入潜意识储存，因而主体常常不能意识到思维加工的过程。在面对数学新情境时，假如有限的数学信息能通过大脑激活主体的数学直觉认识结构，主体就能迅速地对数学对象及其内在关系进行识别，形成整体判断，得出解决问题的方向或途径。

因此，数学直觉的产生，是人脑激活主体的数学直觉认识结构直接领悟数学对象的本质及其规律性的心理过程。

二、数学直觉的特征

数学直觉的基本特征是非逻辑性，这主要表现为其认识的整体性、产生的随机性、过程的跳跃性和结论的或然性。

（一）认识的整体性

数学直觉的整体性，是指数学直觉不着眼于细节的逻辑分析，而是以直接、自动化的方式，从整体上把握并解决问题。

对于数学对象事物，主体可以根据自己知识经验所形成的“智力图象”，直接地猜度到问题关键之所在，并立即从整体上进行直觉的判断、得出结论。而不是把一个问题一点一点地进行分解，直至问题获得解决。因而数学直觉具有快速、直接的整体性认识特征。

（二）产生的随机性

数学直觉是一种无意识的和不自觉的思维过程，是一种突如其来的对问题的理解或顿悟，即日常人们所说的“茅塞顿开”、“豁然开朗”或“恍然大悟”，其产生具有随机性。

数学直觉不受时空的限制，不为意识所左右。主体既不能控制，也不能预料“那种猛然的直觉顿悟”什么时候产生，受什么启迪而产生，更不能自觉地选择触发的方式。数学直觉可能是在连续的思考过程中突然降临，也可能是以机遇的形式戏剧性地出现，但主体不能明确地意识到并控制它的动作过程，也不能用语言将过程清晰地表述出来，它是一种非言语水平上的判断与领悟，其发生具有突然性、不可预料性、随机性等明显特征。如彭加勒于地质考察旅行途中，在刚登上马车的一刹那，发现富克斯函数的变换方法；哈密尔顿在步行去都柏林途中走到勃洛翰桥时，发现了四元数。这也是人们认为数学直觉具有非逻辑性的重要原因。

（三）过程的跳跃性

数学直觉思维过程的跳跃性，是指数学直觉能够跳过正常的逻辑程序，不经过明显的中间推理过程，在瞬间之内以跳跃的形式迅速进行抽象、推理和判断，直达事物本质，获得问题的解决。这种直观的推断，表现为思维过程的渐进性的中断跳跃。它不需通过繁琐的论证推理，而往往是通过突然顿悟或外部诱因，以简洁的形式，由起点一下子跳到终点，又或者是把没有直接逻辑联系的两个结论沟通起来，实现新的认识。

（四）结论的或然性

由于数学直觉思维只依靠有限的信息与事实而作出结论，既没有经过严密的逻辑推理，也不是完全从经验事实中进行归纳的，因而不可能形成条理清晰的思维图景，有时甚至只是一些各式各样的思维片段，因而其结论必然具有很大程度的不成熟悉性、模糊性、猜测性和或然性。这也就是说，数学直觉虽然建立在一定知识经验基础之上，并非凭空的猜想和想象，但不可能一下子就清晰而精确地把握事物的本质，其结论未必是完全正确的，有时甚至是错误的。因此，任何“数学直觉俘获来的战利品”都需要经过逻辑的加工和整理，加以科学的论证和验证。

需要指出的是，数学直觉具有非逻辑性，但并不能说它是非理性的。数学直觉与排除理智的情感神秘性或排斥理性认识形式的纯粹感性有着本质的区别，是一种包含有理性成分的认识过程。

三、数学直觉与数学逻辑思维的联系与区别

（一）数学直觉与数学逻辑思维的联系

首先，数学直觉是以数学知识经验为基础的，而数学知识经验往往又是主体数学逻辑思维的结果。数学直觉的产生，往往是主体经过长时间的逻辑思考后所表现出来的一瞬间的顿悟。这种顿悟，依赖于有意识的逻辑思维为前提，是主体几乎无需作有意识选择的一种推断，是逻辑思维高度压缩、简化和自动化的结果，只不过主体并不能清晰地意识到而已。

其次，在数学问题解决的过程中，当逻辑思维受阻时，数学直觉便被应用。而数学直觉的结果，要依赖于逻辑思维的验证和实践的检验。因此，在数学问题解决的过程中，数学直觉与数学逻辑思维是相互配合，相互取长补短的。正如徐利治教授指出的一样：“数学直觉既是抽象思维的起点，又是抽象思维的归宿。通过抽象思维，对数学对象的本质有所洞察，有所概括，这样形成了更高层次的数学直觉……。”

（二）数学直觉与数学逻辑思维的区别

首先，是思维材料的不同。数学逻辑思维的材料是数学概念，数学直觉思维的材料是数学直觉认识结构。数学直觉认识结构是数学知识结构与主体的思维结构、审美心理结构及大脑的生理结构的有机组合，是一个系统结构。它高度概括地反映了数学对象的本质及其规律性，具有整体性的特点。数学直觉认识结构的形成往往是潜意识的作用，是在不知不觉中自然而然形成的，因而它又具有很强的无意识性。

其次，是思维过程的不同。数学逻辑思维往往是把数学对象事物分解成许多细节，然后遵循由简到繁、由浅入深、由具体到抽象，又或者是从一般到特殊的路线来进行。而数学直觉是对数学问题的实质在一瞬间迅速作出的判断，其思维过程具有迅速性和直接性的特点，既没有明确的思考步骤，也难以用语言清楚地表述出来，主体更不能清晰地意识到它的行程。

最后，是思维结果的不同。数学逻辑思维的结果是确定的，而数学直觉思维结果是或然的。如五次以下的代数方程均有一般形式的根式解，人们因此而凭直觉判断认为五次及五次以上的代数方程也有一般形式的根式解。结果，这数学直觉为挪威数学家阿贝尔的证明所否定。

四、数学直觉的作用

（一）数学直觉可以帮助人们作出正确的选择

前苏联心理学家鲁宾斯坦认为，思维是在问题存在着两个或更多的可能性作出选择的大脑活动。彭加勒则说：“数学的发明实际上指的是什么呢？它不是由已知的数学事实做出了新的组合就构成了.……确切地说，发明并不是由无用的组合构成的，而是由在数量上极少的有用组合而构成的，发明就是鉴别、选择。”在他看来，数学发现的本质就是在于做出正确的选择。

显然，在各种难分优劣的可能性中间作出选择，单靠运用逻辑思维，是无法完成的。如在归纳中如何选择可供归纳的事实材料，在抽象时如何从大量的感性经验中辨别粗与精，区分真与伪，实现“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作，都需要用敏锐的洞察力和科学的鉴赏力去作直觉判断。这时直觉能力的高低往往对选择的正确性起着重要的作用，有时甚至是决定性的作用。正如彭加勒所说的，我们面前有无数多条可供选择的道路，“逻辑可以告诉我们哪些路没有障碍，但它不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须从远处暸望目标，而教导我们暸望的本领是直觉。”

（二）数学直觉可以帮助人们从整体上把握研究的方向

直觉思维对事物本质的把握，对问题的认识，是从整体上进行的，它重视元素之间的联系、系统的整体结构，而不拘泥于细节的逻辑分析。这种从整体上把握问题的思维与策略，常常能帮助人们找到问题解决的突破口。

例如，对23451这个五位数，能否改变各个数字的位置，把它变为一个质数？许多人的做法是用筛选法逐一考察：先排除个位数是2、4、5的情况，再考察剩下的48种情形。但直觉力较强的学习者，会从整体上把五个数字考察一番，由3+2+5+4+1=15，便迅速获得解答。

事实表明，许多数学家也习惯于对数学问题作整体上把握与审视，凭直觉而找到问题的突破口。如刘徽考察圆面积时，先观察圆内接正3·2ｎ边形的面积Ｓｎ。他不是着眼于个别内接正多边形的面积，而是从整体上把握Ｓｎ的变化趋势，凭直觉确认Ｓｎ越来越接近于圆面积。

（三）数学直觉它可以帮助人们作出新发现和提出新理论

在科技发展史上，“许多重大的科学发现，既不是从以前的知识中按严格的逻辑推理得到的，也不是作为经验材料的简单总结、归纳而形成的。科学家常常凭借直觉从大量复杂的经验材料中，直接得出结论，作出新的发现。”当然，数学也不例外，任何数学创造性活动都离不开直觉。彭加勒就曾经指出：“没有一个人怀疑可觉察的直觉在数学中是最有用的发明工具。”笛卡儿创立解析几何、罗巴切夫斯基和黎曼创立非欧几何都是很好的例证。19世纪初，法国青年数学家伽罗华凭借他与众不同的直觉，猜测到五次和五次以上的代数方程与四次以下的代数方程根本不同，不存在一般的根式解，进而经过深入的研究创立了群论，就更说明了直觉思维在数学创造发明中所具有重要的作用。

五、数学直觉的培养

在当前数学教育中，存在着片面强调逻辑思维，只追求演绎、严谨的现象，而对于直觉思维能力的培养却常常避而不谈，部分人甚至认为数学直觉思维能力只是少数数学家的专利品。其实，直觉思维与逻辑思维在人们的认识活动中是相互关联、协作和互补的，片面强调任何一方都不利于学习者素质的全面发展。数学直觉能力与数学逻辑思维能力一样，都是个体在后天的知识经验基础上形成和发展起来的，普通人也是可以发展这种能力的。徐利治教授就曾明确指出：“数学直觉是可以后天培养的。实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”

培养和发展数学直觉思维能力，应注意以下几点：

（一）“由博返约”，建立数学“理性形象”

首先，要在数学学习的过程中，弄清每一个概念，弄清各个数学定律的演绎论证步骤，积累构成理性形象的“原料”。

其次，要对数学知识从内容、结构、方法等各方面进行综合性的全面总结，理解其基本原理和基本方法，并从理论高度加以概括。

这样，经过华罗庚教授所说的“由薄到厚”、“由厚到薄”的过程，数学概念、数学定律、数学方法之间就会内在地联系成为一个有机整体，在个体的头脑中转化成为一幅生动、具体的图画，即数学的“理性形象”。凭借数学“理性形象”，就有可能对数学对象事物达到“直觉的把握”。

（二）大胆猜想，养成良好的数学思维习惯

数学猜想是一种合情推理，是一种或然性非逻辑方法，与论证所用的逻辑推理相辅相成。

对于数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导以及解题策略的发现。要培养和提高数学直觉能力，就必须养成敢于猜想、大胆探索的思维习惯。基本做法是鼓励学习者不受形式逻辑的约束大胆地去猜想，并且促使其猜想向合理程度发展。

（三）整体分析，提倡大步骤思维

直觉来自对问题的整体把握和综合分析。学习者学会从宏观上、整体上、本质上观察问题，树立整体把握和综合分析的意识，是培养和发展其数学直觉思维能力的关键。同时，在整体分析的基础上要提倡大步骤思维，培养学习者思维跳跃能力，以及熟练变更与化归数学问题的能力。

（四）感受数学之美，引发直觉动力

数学美常常可以激发直觉思维。数学家阿达玛说过，数学直觉的本质就是“美的意识”或“美感”。

在进行数学直觉判断时，主体不仅遵循数学真理标准，而且也遵循数学审美原则。特别是进行创造性数学直觉思维时，主体更多的是遵循简单、和谐、有序、对称等数学美感标准作出直觉判断。因此，数学美是引起数学直觉的动力，是产生数学直觉的重要条件。在数学教育中，应尽可能把数学的美挖掘出来，启发学习者的审美意识，激发学习者对美的追求，引导他们用美的标准、美的规律去猜想和判断，进而提高他们欣赏美和创造美的能力。

（五）善待错误，培养自信心

数学直觉的结果具有或然性。它常见的错误，一是忽视选取的范围，从有限的、数量明显不足的观察对象中提出假设，作出结论；二是忽视数学统计规律，只从主观判断出发，对事物的偶然性作出必然性的结论。因而数学直觉的结论可能是错误的，这使得缺乏自信和勇气的人不愿意去冒这个风险，害怕受到错误的指责。因此，善待学习者的错误，指出其数学猜想、数学直觉中的合理成分，培养学习者的自信心和勇气，对培养和发展其数学直觉思维能力是极为重要的。

参考文献：

1．赵凤平：《论直觉及其认知和创造功能》，《辽宁师范大学学报（社科版）》，1998年第一期。

2．罗新建：《数学直觉思维的概念和本质》，《四川师范大学学报（自然科学版）》，1997年第3期。

3．任樟辉：《数学思维论》，广西教育出版社，1996年版。

（文见《山西大学师范学院学报》2003年第2期）