教学为什么而开放
随着基础教育改革的不断深化，培养学生的数学学习能力和让学生主动积极地发展的教育理念，已普遍得到广大教师的认同。教师们努力钻研教材，不断地总结与反思，力求使自己的课堂教学发生变化。笔者由于课题研究的需要，有了许多机会到中小学听课，发现在数学课堂教学中，开放题的设计与教学已成为教师们日益的关注和追求，这相对过去机械的模仿练习来说，无疑是一巨大的、可喜的变化。
    当我们仔细品味教师的开放题教学的过程，反思开放题教学现象背后的教学观念，我们就会发现在开放题教学过程中存在的问题：教师关注的是开放题教学的结果，满足于学生解决问题结果的多样，而没有关注到开放题教学的过程，忽视在过程中引导学生如何进行有序的思考和进一步掌握解决问题的规律；忽视开放以后的归纳、概括和提升。表现出为开放而开放-------教学中的一种“表面化”。
    由此，为什么而开放的问题就成为我们必须面对和思考的问题。对这一问题的思考其实又回到教学目的是什么的老问题上。为什么教学实践中总是表面化的、形式化的东西最容易发生变化？怎样才能使教学围绕目标发生本质的变化？我们是否需要寻找一个解决这些问题的新视角？
    语言哲学大师维特根斯坦的话对我们颇有启示。他说：“洞见和透识隐藏于深处的棘手问题是艰难的，因为如果只是把握这一棘手问题的表层，它就会维持原状，仍然得不到解决。因此，必须把它‘连根拔起’，使它彻底地暴露出来；这就要求我们开始以一种新的方式来思考。‥…难以确立的正是这种新的思维方式。”我们是否能用一种新的思维方式来分析和思考这些问题？转换一下研究问题的视角，从思考开放题的结果转换到思考开放题能为我们提供什么，或许就能成为我们思考和解决这些问题的切入口。
    （一）
    开放题的教学可以发展学生的思维水平，这种思维水平可以从质和量两个方面来发展。量的方面是指学生在解决问题时“想得多”和“想得快”。“想得多”是指学生解决问题的方案或结果多样；“想得快”是指学生解决问题的速度快和思路清晰。目前的开放题教学大多停留在这一层面上。质的方面是指学生在解决问题时怎样想“想得全”，即不重复、不遗漏有规律地寻找解决问题的方案或全部结果。教师要引导学生在思考和寻找解决问题的方案或结果的同时，使学生的思维能够有序化和条理化。例如：在数2，3，4，6，8，12，16，24中，哪两个数之间有倍数关系？在这一问题上，学生所表现出的思维特点是无序的、零散的，学生想得多、想得快是容易做到的，要想得全则是有一定难度的。教师可在学生无序思考的基础上设问：“谁能把与2有倍数关系的数一个不漏地全找到？”、“下面应该找哪个数？”，逐步引导学生进行有序地思考，使学生的思维条理化和深刻化，从而形成良好的思维品质。
    （二）
    开放题的教学可以使学生的认识结构化。结构化就是把数学研究对象按其特征分门别类的进行归纳，概括出每一类别独有的特点，揭示出各类别之间共有的特征。使学生对数学的认识由点状的向结构化的提升。例如：上海市九年义务教育教材《数学》第六册中两步文字题的教学，某教师的教学片断如下：
    第一层次：首先，教师呈现问题“56乘以10，积是多少？”学生立即做出反应：56×10，560，56×10=560，等等。
    接着，教师说：“今天我们来学习一个变戏法的本领，掌握了这个本领，我们就能把一步文字题转化为两步文字题。现在我们先对一步文字题中的10做变化，想一想，10可以看成哪两个数运算以后的结果？并用文字表示。”
    S1：把10看成5+5，就是5与5的和。
    S2：把10看成5×2，就是5与2的积。
    S3：把10看成1与9的和。
    T：好的，还能否转换成其他的运算呢？（教师在56×10的10下面板书：5+5，5×2，1+9）
    S4：10可以看成20÷2
    T：他又想到了除法，还有什么运算？
    S5：10可以看成12-2。（教师在1+9的后面继续板书20÷2，12-2）
    T：两两互相用文字说说这两题（指1+9和20÷2），并列出算式。
    学生在交流的基础上向全班汇报如下：
    S1：56乘以1与9的和，积是多少？算式是56×1+9。
    S2：不对，1与9的和要加圆括号。
    T：为什么要加圆括号？
    S1：56乘以1与9的和，先算和再算积，所以要加圆括号。
    S2：56×1+9，先算56×1，最后求的是和而不是积了。
    S3：这道题还可以这样说，1与9的和乘56，积是多少？
    T：后面这一题怎么说？
    S1：56乘以20与2的商，积是多少？算式是56×（20÷2）。
    S2：还可以这样说，56乘以2除20的商，积是多少？
    S3：还可以这样说，20除以2的商乘56，积是多少？
    最后，做小结。教师问：“比较一下，现在这些题和原先的题有什么区别？”
    学生纷纷在下面说，“原先的直接算”，“现在的多一步”，等等。
    第二层次：在上面的基础上，教师请学生不变化10，变化56使它成为一个新问题。学生进行迁移，基本上是刚才思考的重复。
    第三层次：同时变化56和10，使它成为一个新问题。
    在这个案例中，应该说第一层次的教学是比较精彩的，师生之间达到了比较有效的互动。教师善于打开学生的思路，及时捕捉信息引导学生关于是否要加圆括号的问题展开讨论，使学生初步了解了一步文字题向两步文字题转化的过程。在这一层次中，学生虽然想得多、想得快，但所表现出的思维水平基本上是属于点状的、零散的思考，这是很正常的。问题就在于课堂中第二层次和第三层次学生的思维水平基本上停留在第一层次的重复水平上，怎样引导学生的思维往纵深发展，从而激发和培养学生的高层次思考？
    我们认为，教师可以在第一层次学生点状的思考的基础上，在第二层次中，首先要有意识的引导学生进行有序的思考，其次要引导学生把变化以后的问题进行归类，如下所示：
    56×10         56×10         56×10         56×10
   （56+0）×10    （56-0）×10    56×1×10      56÷1×10
   （55+1）×10    （57-1）×10    28×2×10     112÷2×10
   （54+2）×10    （58-2）×10    14×4×10     168÷3×10
      ┆                ┆            ┆             ┆
  （答案有限）    （答案无限）  （答案有限）    （答案无限）
    通过教学，逐步使学生的思维条理化，同时对这一变化问题的认识达到结构化。
    （三）
    开放题的教学可以让学生体验数学化的过程。在小学阶段，数学化主要是指形式化。形式化就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。人们用a+b=b+a  表示加法交换律，ab=ba 表示乘法交换律，都属于形式化的工作。形式化是比较抽象和困难的，对一些比较简单的形式化工作，可以让学生体验一下“再创造”的过程，使学生领悟到数学的抽象性，体验到形式化工作的艰难。例如：上述问题结构化以后，教师可进一步引导学生进行形式化的工作，可表示为（a+b）×c，
（a-b）×c，a×b×c，a÷b×c。 
    我们认为，数学学习离不开解题与练习，但我们不能为解题而解题，为开放而开放，而是要把题目做为教学的载体，把开放做为教学中师生互动的契机，把关注的重点放在问题解决过程中如何激发和引导学生的高层次思考上。如果充分开发和挖掘了学科教学过程中的育人价值，就可以使学生了解数学学习与思考的一般方法，使学生体验数学的“再创造”的过程，进一步使学生的思维品质得到培养。这需要坚持不懈的努力，需要滴水穿石的精神，这样，数学教育就会发生根本的变化。